Hur vet man om gränsvärden existerar flervariabel

Ett första test kan Du beräknar ett gränsvärde genom att ersätta variabeln med det givna värdet det går mot, för att sedan beräkna uttryckets eller funktionens värde. För vissa uttryck och funktioner kan man beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver man först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet. 1 Flervariabelanalys: gränsvärde existerar men behöver Om vi tar gränsvärdet längs räta linjer y = kx (eller x = 0) med k 6= 1 så får vi lim x!0 gränsvärden existerar inte gränsvärdet. Flervariabelanalys. 2 Kom ihåg hur vi i Jag vet hur man hanterar "fria" gränsvärden i flera variabler och har i deluppgift 'a' kommit fram till att gränsvärdet inte existerar (eftersom att lim t → ∞ f (t, 0) och lim t → ∞ f (t, t) ger olika svar), men hur gör jag om jag har en begränsad definitionsmängd som i deluppgift 'b'? Tror aldrig jag har stött på en sådan uppgift förut. 3 Om inget sägs angående definitionsmängden antar Gränsvärde, flervariabel analys Hej Behöver lite hjälp med en uppgift där jag har uttrycket fα: R^2 \ { (0, 0)} → R, (x, y) → (x+y)/ (x^2+y^2)^α lim p→0 fα (p) Frågan är då, existerar det ett gränsvärde för när alpha= och när >alpha>0? 0 #1 Micimacko Postad: Kanske går att se något om du skriver om det polärt? 0 #2. 4 3) Vi vet inte hur Höger- och vänstergränsvärde Högergränsvärde:Om man i gränsvärdesdefinitionenbegränsar sig till xsom ligger till höger omatalar man omhögergränsvärde, skrivet limf(x) x!a+ Vänstergränsvärde: Om man i gränsvärdesdefinitionenbegränsar sig till xsom ligger till vänster omatalar man omvänstergränsvärde, skrivet limf(x) x!a. 5 För att visa att ett Medlem Offline Registrerad: Inlägg: [HSM] gränsvärden flervariabel Hej, jag har lite problem att greppa vissa delar inom gränsvärden när det kommer till flera variabler. tex. vad betyder det att x^2+y^2 -> inf ur ett geometriskt perspektiv? Är det tänkt att man alltid ska övergå till planpolära koordinater för att lösa detta?. 6 Lösning: Vi identifierar först våra funktioner g (x,y) g(x,y) och h (x,y) h(x,y) utifrån vektorfältet som vi fått. Vi ser att: g (x,y)=x { y }^ { a } g(x,y) = xya h (x,y)= (1+b { x }^ { 2 }) { y }^ { 2} h(x,y) = (1+ bx2)y2 Vi märker också att båda funktionerna är kontinuerliga. För att fältet ska bli konservativt kan vi alltså sätta. 7 Övning Avgör om följande gränsvärden existerar. a) Beräkna lim(x y) (1 1) x2−2x+1 xy−2x−y+2. b) Beräkna lim(x y) (0 0)2x2+y2x2−2y2. c) Beräkna lim(x y) (0 0) 2x3 −xy2 x2 +y2 −xy. d) Beräkna lim(x y) (0 1) xy2 −2xy+x 2x2 +y2 −2y+1. Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och. 8 🇸🇪 Svenska Flervariabelanalys Gransvarden och kontinuitet Gränsvärden och kontinuitet Kontinuitet för en funktion av flera variabler innebär att gränsvärdet finns som ett och samma värde i alla riktningar. Det vill säga att inga oegentligheter uppstår om en eller flera av dess indatavariabler ändras något Innehållsförteckning Intro. 9 Gränsvärden De nition Låt f: D f!R m där D f ˆR n, och antag att a är en hopningspunkt till D f. Vi säger då att f har gränsvärde b 2Rm i a om det för varje ">0 nns >0 sådant att jx a jGränsvärden. Kontinuitet. 10 När vi testar mindre och mindre värden på x (positiva eller negativa), så märker vi att det inte finns någon övre gräns för hur stort funktionsvärdet kan bli. Vi säger då att funktionsvärdet går mot oändligheten, ∞, eftersom funktionsvärdena blir oändligt stora (det finns ingen hejd på hur stora värdena kan bli). 11